Indução matemática: como se faz?

Entenda o significado da indução matemática, a sua origem e como aplicá-la corretamente para provar teoremas que envolvem números naturais.

Origem da indução matemática

Podemos definir da maneira mais simplificada possível a indução matemática (também conhecida como indução finita) como o processo que busca provar um determinado teorema ou propriedade que envolve números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}).

Antes de abordá-la, vamos analisar a aplicação da técnica de indução vulgar, que era a maneira usual de se provar teoremas antes da existência da indução matemática. Para tanto, vamos analisar o teorema do número de Fermat. O teorema define que:

= um número primo, para qualquer valor de n

O matemático Pierre de Fermat tentou provar o seu teorema de números primos, no século XVII, através desse método. Veja abaixo:

é igual a 3 e 3 é um número primo
é igual a 5 e 5 é um número primo
é igual a 17 e 17 é um número primo
é igual a 257 e 257 é um número primo
é igual a 65537 e 65537 é um número primo

A princípio parece que temos um padrão, uma regra aparente. Parece que a fórmula proposta sempre gera números primos. Mas será que essa regra se mantém para todos os infinitos possíveis valores de n?

A princípio, o teorema era considerado verdadeiro apenas pela demonstração dos quatro primeiros valores dos números naturais (indução vulgar). Até que em 1732 o matemático Leonhard Euler mostrou o que se chama em matemática de contraexemplo. Euler calculou o resultado do número de Fermat para n = 5:

Acontece que este valor encontrado por Euler não é um número primo, pois pode ser representado como 641 × 6.700.417. Vale ressaltar que estamos falando de uma época em que não havia computadores e nem máquinas de calcular!

Este contraexemplo derrubou o teorema do número de Fermat e mostrou o equívoco de tentar provar propriedades de números naturais através da demonstração de alguns valores. Isso mostra não só a importância de não se considerar resultados iniciais aparentes, mas também a importância de utilizar métodos logicamente corretos para provar fórmulas e teoremas.

Algumas fórmulas e teoremas

Para compreender o processo de indução matemática, precisamos visualizar alguns teoremas sobre os quais podemos aplicá-la.

Somatório da progressão aritmética

O teorema propõe uma formula fechada para a soma consecutiva dos n primeiros números naturais positivos não nulos:

Somatório dos n primeiros números ímpares

O teorema propõe uma formula fechada para a soma consecutiva dos n primeiros números naturais ímpares, positivos e não nulos:

Número piramidal quadrado

O teorema propõe uma formula fechada para a soma consecutiva do quadrado dos n primeiros números naturais positivos não nulos:

Contudo, sabemos que não é possível testar todos os valores possíveis de n para provar a validade desses teoremas, pois os números naturais são infinitos!

Obs: Você deve ter percebido o uso do símbolo de somatório ∑ (letra sigma) nas fórmulas expressas acima. Se você ainda não sabe o que é um somatório, clique aqui e acesse o artigo onde te explicamos detalhadamente sobre o assunto.

Definição da indução matemática

A indução matemática é uma técnica utilizada para provar uma determinada propriedade que envolve todos os infinitos números naturais. Ela é composta por dois princípios básicos: a base e o passo indutivo. Primeiro, começamos provando a base:

Base:

T(n0)

Precisamos apenas provar que o teorema é válido para um número n inicial qualquer.

Após testada a base, realizamos o passo indutivo, onde verificamos se o teorema é válido para um determinado valor k (hipótese), e depois verificamos se ele também é válido para o próximo valor k+1 (Tese):

Passo indutivo:
Hipótese:
Se ele também é valido para um determinado valor k.
Tese:
Ele também deve ser válido para o próximo valor ( k+1).

Simples assim! A base e o passo indutivo representam as etapas realizadas durante o processo de indução. Mostramos que o teorema é válido para um valor n0 inicial e depois mostramos que ele também é válido para um valor k e para o próximo valor k+1. Mas como assim?

Imagine um efeito dominó: se é válido para 1 é válido para 1+1, ou seja, é válido para 2. Mas se é válido para 2 é válido para 2+1, ou seja, é válido para 3. Mas se é válido para 3 é válido para 3+1… Em resumo, se o teorema é válido para um número  e o seu sucessor, então o efeito dominó está provado e o teorema é valido para todos os infinitos números naturais.

Parece até brincadeira de criança, mas acredite, essa é uma lógica perfeitamente válida para provar propriedades e teoremas envolvendo números naturais.

Aplicando a indução matemática

Apesar de parecer simples por definição, o processo de indução envolve certas transformações algébricas que podem complicar a sua cabeça se não for demonstrado com bastante cuidado. Por este motivo, vamos te mostrar o passo-a-passo dessa demonstração para provar o teorema do “somatório da progressão aritmética”, abordado na sessão anterior.

Prepare o seu espírito e vamos lá:

O teorema determina a seguinte fórmula para a soma consecutiva dos n primeiros números naturais positivos não nulos:

Começamos com a base, testando se o teorema é válido para n=3:

O valor n=3 foi apenas um palpite, poderíamos ter utilizado qualquer valor. O importante é mostrar que o teorema é valido para um valor.

Agora começamos o passo indutivo definindo a hipótese.

Começamos com a hipótese de que o teorema é válido para um valor k

Já demonstramos anteriormente que isso é válido!

Se o teorema é válido para um determinado valor k, então ele também deve ser válido para o próximo valor.

Desta forma, estendemos a equação. Agora, tudo o que precisamos fazer é resolvê-la algebricamente e, ao final, verificar se ambos os lados são iguais. Vamos resolver:

Observe que o trecho em verde abaixo nada mais é do que a própria fórmula do teorema.
​Portanto, podemos substituí-lo na equação.
Simplificamos o lado direito da equação.
No lado esquerdo, colocamos as parcelas sobre o mesmo denominador comum.
Perceba que o (k+1) se repete em ambas as parcelas. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Reduzimos a equação e mostramos que ambos os lados são equivalentes.

Pronto! A indução foi concluída e provamos que o teorema do somatório funciona para todos os infinitos números naturais positivos não nulos.

Mais um exemplo de indução matemática

Vamos realizar a indução matemática para mais um exemplo, para que você possa compreender de uma forma mais clara como acontece o processo. Desta vez, vamos utilizá-lo para provar o teorema do “somatório dos n primeiros números ímpares”:

O teorema relata uma fórmula fechada para a soma consecutiva dos primeiros números ímpares naturais positivos não nulos:

Começamos com a base, testando se o teorema é válido para n=3:

Agora começamos o passo indutivo definindo a hipótese.

Começamos com a hipótese de que o teorema é válido para um determinado valor k.

Já demonstramos anteriormente que isso é válido!

Se o teorema é válido para um determinado valor k, então ele também deve ser válido para o próximo valor.

Desta forma, estendemos a equação. Agora, tudo o que precisamos fazer é resolvê-la algebricamente e, ao final, verificar se ambos os lados são iguais. Vamos resolver:

Observe que o trecho em verde abaixo nada mais é do que a própria fórmula k2
do teorema.
​Portanto, podemos substituí-lo na equação.
Simplificamos o lado esquerdo da equação.
Colocamos o k em evidência e extraímos em dois fatores (k+1)
Um número multiplicado por ele mesmo é o mesmo que ele ao quadrado. Portanto transformamos o lado direito da equação em dois fatores.
Reduzimos a equação e mostramos que ambos os lados são equivalentes.

Pronto! A indução foi concluída e provamos que o teorema funciona para todos os infinitos números naturais positivos, ímpares e não nulos.

Agora é a sua vez!

Mostre que você aprendeu o processo de indução e prove o teorema abaixo:

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