As propriedades dos somatórios nos permitem realizar simplificações algébricas poderosas em equações que envolvem este tipo de simbologia matemática. Este artigo divide as propriedades dos somatórios em duas categorias:
- primeiro são apresentadas as propriedades dos somatórios aplicadas aos elementos de conjuntos numéricos.
- depois, são apresentadas as propriedades aplicadas às funções polinomiais.
Se você ainda não sabe o que é um somatório, te recomendamos fortemente que, antes de prosseguir, clique neste link e leia o artigo onde nós te explicamos detalhadamente sobre o assunto.
Propriedades dos somatórios em elementos de conjuntos numéricos
Existem algumas propriedades interessantes dos somatórios para termos de conjuntos numéricos. Essas propriedades são muito úteis e nos permitem economizar tempo e esforço na resolução de vários tipos de problemas. Vamos às propriedades.
Produto por escalar:
Seja X um conjunto de valores reais e α um escalar qualquer (valor usado para multiplicar). A propriedade afirma que:
O somatório do escalar multiplicado pelo termo.
é igual ao escalar multiplicado pelo somatório do termo.
Vamos à demonstração:
para o conjunto X = { 101 , 32 , 53 , 74 , 25 , 96 , 47 }
Um pequeno exercício para você praticar:
Adição e subtração:
Sejam X e Y dois conjuntos distintos de valores reais. A propriedade afirma que:
O somatório do termo X ± termo Y
é igual ao somatório do termo X ± o somatório do termo Y
Vamos à demonstração (primeiro com a adição):
Agora vamos à demonstração com a subtração:
Um pequeno exercício para você praticar:
Somatório de uma única etapa:
Seja X um conjunto de valores reais. A propriedade afirma que:
é igual ao próprio termo naquele índice.
Essa é óbvia e bem fácil, mas vamos à demonstração para não perder o costume:
Propriedades dos somatórios em funções polinomiais
No que diz respeito às funções polinomiais, os somatórios podem ser convertidos em fórmulas prontas. Isso pode ajudar bastante na realização de diversas operações algébricas.
Somatório de 1:
Vamos à demonstração:
Agora vamos testar seu aprendizado. Usando a fórmula do “somatório de 1”, calcule os resultados dos seguintes somatórios:
Somatório de uma progressão aritmética:
O somatório onde o termo é o próprio índice do somatório, em um intervalo de 1 até n, é igual a
Vamos à demonstração:
Agora vamos testar seu aprendizado. Usando a fórmula do “somatório de uma progressão”, calcule o resultado dos seguintes somatórios:
Número piramidal quadrado:
O somatório onde o termo é o próprio índice do somatório elevado ao quadrado, em um intervalo de 1 até n, é igual a
Vamos à demonstração:
Agora vamos testar seu aprendizado. Usando a fórmula do “número piramidal quadrado”, calcule os resultados dos seguintes somatórios:
