Propriedades dos logaritmos

Introdução

Assim como os diversos assunto da matemática, os logaritmos possuem propriedades que nos permitem realizar certas conversões algébricas, bem como reescrever expressões inteiras. O objetivo das propriedades é o de simplificar a resolução de problemas difíceis.

Antes que você possa compreender as propriedades dos logaritos é necessário que você esteja familiarizado com o conceito. Se você não está familiarizado com o conceito de logaritmo, clique aqui e leia o artigo onde nós te explicamos detalhadamente sobre o assunto.

Propriedades básicas dos logaritmos

Equivalência

A propriedade afirma que:

Se o logaritmo de um número a na base b

for igual ao logaritmo de um outro número c na mesma base b

então a é igual a c

Logaritmo de 1

A propriedade afirma que:

O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0(zero).

Vamos à demonstração:

é o mesmo que

O que é verdade, pois, pela regra matemática, qualquer número elevado a 0(zero) sempre será igual a 1.

Logaritmo de a na base a

A propriedade afirma que:

O logaritmo de um número a numa base de mesmo valor a é sempre igual a 1.

Vamos à demonstração:

é o mesmo que

O que é, obviamente, verdade!

Agora é a sua vez:

Com base nas propriedades básicas dos logaritmos, encontre o valor de x nas equações abaixo:

Propriedades operatórias dos logaritmos

Logaritmo do produto

A propriedade afirma que:

O logaritmo do produto de dois números a e c em uma base b é sempre igual ao logaritmo do número a na base b mais o logaritmo do número c na base b.

Vamos à demonstração:

Logaritmo do quociente

A propriedade afirma que:

O logaritmo do quociente de dois números a e c em uma base b é sempre igual ao logaritmo do número a na base b menos o logaritmo do número c na base b.

Vamos à demonstração:

Logaritmo da potência

A propriedade afirma que:

O logaritmo de um número a elevado ao expoente c em uma base b é sempre igual ao expoente c multiplicado pelo logaritmo do número a na base b.

Vamos à demonstração:

Agora é a sua vez:

Com base nas propriedades operatórias dos logaritmos, encontre o valor de x nas equações abaixo:

Propriedades avançadas dos logaritmos

Conversão para logaritmo

A propriedade afirma que:

Um número b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a.

Ela também afirma que o logaritmo de um número b^a na base b é igual a a.

Vamos à demonstração:

Essa é uma das propriedades mais úteis e interessantes pois nos ensina a como converter um número qualquer para uma representação logarítmica. Isso nos permite resolver muitas expressões difíceis envolvendo logaritmos.

Mudança de base

A propriedade afirma que:

O logaritmo de um número a em uma base b é sempre igual ao logaritmo do número a em uma terceira base c sobre o logaritmo do número b nessa mesma terceira base c.

Vamos à demonstração:

Essa também é uma propriedade muito importante dos logaritmos, pois nos ensina a como converter um logaritmo de uma base para outro logaritmo de qualquer outra base. Isso nos permite simplificar e resolver muitas expressões difíceis.

Agora é a sua vez:

Com base nas propriedades avançadas dos logaritmos, encontre o valor de x nas equações abaixo: