De maneira mais simples, podemos compreender os logaritmos como uma simbologia matemática usada para representar potências de uma maneira diferenciada.
Elas surgem a partir das equações exponenciais, que são as equações que possuem a incógnita no expoente, do seguinte tipo:
Origem dos Logaritmos
Para entender a origem dos logaritmos, vamos analisar uma propriedade das equações exponenciais. A propriedade que nos permite retirar a incógnita x do expoente, reduzindo ambos os lados da igualdade à mesma base e depois excluindo a base. Veja o exemplo:
Para resolver a equação: 2x = 8 podemos fatorar o número 8 e representá-lo como 23. Desta forma, a equação poderia ser representada como 2x = 23 e poderia ser facilmente resolvida excluindo as bases (pois são iguais), resultando em: x = 3.
Resumindo:
Problema!
Acontece que existem certas situações nas equações exponenciais nas quais não é possível reduzir ambos os lados à mesma base! Veja o exemplo:
Os logaritmos ajudam a resolver esses e outros tipos de problemas, onde não é possível igualar as bases para retirar a incógnita do expoente.
Definição dos Logaritmos
Da maneira mais resumida possível, os logaritmos são apenas uma simbologia matemática para representar uma função exponencial. Observe:
Perceba, na ilustração acima, que o logaritmo é uma forma de isolar a incógnita x do outro lado da igualdade. Isso facilita muitas operações!
A estrutura de um logaritmo possui elementos com nomenclaturas bem particulares:
- O elemento b é denominado de base.
- O elemento a é denominado de logaritmando.
- O elemento x é denominado de logaritmo.
Veja como é fácil converter um logaritmo de volta para uma equação exponencial:
Vaja exemplos de equações exponenciais convertidas em logaritmos:
Agora é a sua vez!
Responda verdadeiro ou falso para as seguintes propostas de conversões de exponencial para logaritmos:
Restrições dos logaritmos
Os logaritmos possuem certas restrições que permitem que eles sejam matematicamente válidos e funcionem nas operações algébricas.
Dado o logaritmo:
As restrições nos dizem que:
- O valor de b deve ser positivo e diferente de 1 (b > 0, b ≠ 1).
- O valor de a deve ser positivo (a > 0).
Qual o motivo destas restrições? Veja alguns exemplos:
Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base 0 e resulte em um valor maior que 1.
Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base -2 e resulte em 8.
Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base 1 e resulte em um valor maior que 1
Agora é a sua vez!
Com base nas restrições, mostre que os logaritmos abaixo são inválidos.
Algumas convenções
Nas aplicações práticas de resolução de problemas é muito comum se utilizar algumas convenções e generalizações para as simbologias matemáticas. Com os logaritmos não é diferente.
Logaritmos decimais
Quando a base do logaritmo é 10, têm-se por convenção omitir a base. Ex.:
Logaritmos binários
Muito utilizados na computação, os logaritmos de base 2, ou binários, constantemente são usados em sua forma simplificada. Usa-se o termo lg no lugar de log e omite-se a base do logaritmo. Ex.:
Logaritmos naturais
Outra convenção é a dos logaritmos naturais (conhecidos também como neperianos) que diz respeito aos logaritmos na base e (nº de EULER). Ex.:
Entender os logaritmos é apenas o primeiro passo. O que você precisa saber mesmo é como usar as suas propriedades, pois elas te permitirão resolver equações e problemas mais complexos. Clique aqui e acesse o artigo onde nós te explicamos detalhadamente sobre as propriedades dos logaritmos.
