Propriedades dos somatórios

Introdução

As propriedades dos somatórios nos permitem realizar simplificações algébricas poderosas em equações que envolvem este tipo de simbologia matemática. Este artigo divide as propriedades dos somatórios em duas categorias:

• primeiro são apresentadas as propriedades dos somatórios aplicadas aos elementos de conjuntos numéricos.
• depois, são apresentadas as propriedades aplicadas às funções polinomiais.

Se você ainda não sabe o que é um somatório, te recomendamos fortemente que, antes de prosseguir, clique neste link e leia o artigo onde nós te explicamos detalhadamente sobre o assunto.

Propriedades dos somatórios em elementos de conjuntos numéricos

Existem algumas propriedades interessantes dos somatórios para termos de conjuntos numéricos. Essas propriedades são muito úteis e nos permitem economizar tempo e esforço na resolução de vários tipos de problemas. Vamos às propriedades

Produto por escalar

Seja X um conjunto de valores reais e α um escalar qualquer (valor usado para multiplicar). A propriedade afirma que:

O somatório do escalar multiplicado pelo termo

é igual ao escalar multiplicado pelo somatório do termo.

Vamos à demonstração.
Considerando o conjunto X = { 10₁, 3₂, 5₃, 7₄, 2₅, 9₆, 4₇}

Um pequeno exercício para você praticar.
Considerando o conjunto Y = { 5₁, 7₂, 9₃, 4₄, 10₅}, mostre que:

Adição e subtração

Sejam X e Y dois conjuntos distintos de valores reais. A propriedade afirma que:

O somatório do termo X ± termo Y

é igual ao somatório do termo X ± o somatório do termo Y.

Vamos à demonstração (primeiro com a adição).
Considerando o conjunto X = { 10₁, 3₂, 5₃, 7₄, 2₅, 9₆, 4₇} e o conjunto Y = { 5₁, 6₂, 1₃, 4₄, 8₅, 3₆, 10₇}

Agora vamos à demonstração com a subtração.
Considerando o conjunto X = { 10₁, 3₂, 5₃, 7₄, 2₅, 9₆, 4₇} e o conjunto Y = { 5₁, 6₂, 1₃, 4₄, 8₅, 3₆, 10₇}

Um pequeno exercício para você praticar.
Considerando os conjuntos X = { 5₁, 7₂, 9₃, 4₄, 10₅} e Y = { 2₁, 5₂, 1₃, 4₄, 7₅}, demonstre que:

Somatório de uma única etapa

Seja X um conjunto de valores reais. A propriedade afirma que:

O somatório de um termo cujos índices inicial e final são os mesmos

é igual ao próprio termo naquele índice.

Essa é óbvia e bem fácil, mas vamos à demonstração para não perder o costume.
Considerando o conjunto X = { 10₁, 3₂, 5₃, 7₄, 2₅, 9₆, 4₇}:

Propriedades dos somatórios em funções polinomiais

No que diz respeito às funções polinomiais, os somatórios podem ser convertidos em fórmulas prontas. Isso pode ajudar bastante na realização de diversas operações algébricas.

Somatório de 1

A propriedade afirma que:

O somatório do termo 1, em qualquer intervalo m até n

Vamos à demonstração:

Agora vamos testar seu aprendizado. Usando a fórmula do “somatório de 1”, calcule os resultados dos seguintes somatórios:

Somatório de uma progressão aritmética

A propriedade afirma que:

O somatório onde o termo é o próprio índice do somatório, em um intervalo de 1 até n

Vamos à demonstração:

Agora vamos testar seu aprendizado. Usando a fórmula do “somatório de uma progressão”, calcule o resultado dos seguintes somatórios:

Número piramidal quadrado

A propriedade afirma que:

O somatório onde o termo é o próprio índice do somatório elevado ao quadrado, em um intervalo de 1 até n

Vamos à demonstração:

Agora vamos testar seu aprendizado. Usando a fórmula do “número piramidal quadrado”, calcule os resultados dos seguintes somatórios: