Logaritmos: o que são?

Introdução

De maneira mais simples, podemos compreender os logaritmos como uma simbologia matemática usada para representar potências de uma maneira diferenciada.

Elas surgem a partir das equações exponenciais, que são as equações que possuem a incógnita no expoente, do seguinte tipo:

Origem dos Logaritmos

Para entender a origem dos logaritmos, vamos analisar uma propriedade das equações exponenciais. A propriedade que nos permite retirar a incógnita x do expoente, reduzindo ambos os lados da igualdade à mesma base e depois excluindo a base. Veja o exemplo:

Para resolver a equação: 2^x = 8 podemos fatorar o número 8 e representá-lo como 2³. Desta forma, a equação poderia ser representada como 2^x = 2³ e poderia ser facilmente resolvida excluindo as bases (pois são iguais), resultando em: x = 3.

Resumindo:

Dada uma equação exponencial

Fatoramos o número 8, para reduzir ambos os lados à mesma base

Excluímos as bases, retiramos o x do expoente e encontramos o seu valor

Problema!

Acontece que existem certas situações nas equações exponenciais nas quais não é possível reduzir ambos os lados à mesma base! Veja o exemplo:

Acontece que não podemos transformar o número 3 em uma potência de base 2! E agora? Como resolver?

Os logaritmos ajudam a resolver esses e outros tipos de problemas, onde não é possível igualar as bases para retirar a incógnita do expoente.

Definição dos Logaritmos

Da maneira mais resumida possível, os logaritmos são apenas uma simbologia matemática para representar uma função exponencial. Observe:

A equação exponencial

transforma-se em

um logaritmo.

Perceba, na ilustração acima, que o logaritmo é uma forma de isolar a incógnita x do outro lado da igualdade. Isso facilita muitas operações!

A estrutura de um logaritmo possui elementos com nomenclaturas bem particulares:

Lê-se: logaritmo de a na base b é igual a x.

O elemento b é denominado de base.
O elemento a é denominado de logaritmando.
O elemento x é denominado de logaritmo.

Veja como é fácil converter um logaritmo de volta para uma equação exponencial:

apenas faça: base b elevado a x é igual ao logaritmando a.

Vaja exemplos de equações exponenciais convertidas em logaritmos:

é o mesmo que

Agora é a sua vez!

Responda verdadeiro ou falso para as seguintes propostas de conversões de exponencial para logaritmos:

é o mesmo que

Restrições dos Logaritmos

Os logaritmos possuem certas restrições que permitem que eles sejam matematicamente válidos e funcionem nas operações algébricas.

Dado o logaritmo:

As restrições nos dizem que:

O valor de b deve ser positivo e diferente de 1 (b > 0, b ≠ 1).
O valor de a deve ser positivo (a > 0).

Qual o motivo destas restrições? Veja alguns exemplos:

é o mesmo que

Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base 2 e resulte em -4.

é o mesmo que

Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base 5 e resulte em 0!

é o mesmo que

Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base 0 e resulte em um valor maior que 0!

é o mesmo que

Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base -2 e resulte em 8!

é o mesmo que

Impossível de resolver, pois não existe expoente que eleve a base 1 e resulte em um valor maior que 1!

Agora é a sua vez!

Com base nas restrições, mostre que os logaritmos abaixo são inválidos.

Algumas convenções

Nas aplicações práticas de resolução de problemas é muito comum se utilizar algumas convenções e generalizações para as simbologias matemáticas. Com os logaritmos não é diferente.

Logaritmos decimais

Quando a base do logaritmo é 10, têm-se por convenção omitir a base. Ex.:

transforma-se em:

Logaritmos binários

Muito utilizados na computação, os logaritmos de base 2, ou binários, constantemente são usados em sua forma simplificada. Usa-se o termo lg no lugar de log e omite-se a base do logaritmo. Ex.:

transforma-se em:

Logaritmos naturais

Outra convenção é a dos logaritmos naturais (conhecidos também como neperianos) que diz respeito aos logaritmos na base e (nº de EULER). Ex.:

transforma-se em:

Entender os logaritmos é apenas o primeiro passo. O que você precisa saber mesmo é como usar as suas propriedades, pois elas te permitirão resolver equações e problemas mais complexos. Clique aqui e acesse o artigo onde nós te explicamos detalhadamente sobre as propriedades dos logaritmos.

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